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Projekte
Aktuelle Drittmittelprojekte
- Adaptive Quarklet Methoden zum numerischen Lösen von elliptischen partiellen Differentialgleichungen mit exponentieller Konvergenz
DFG Projektnummer: 528343051
PI: Dr. Marc Hovemann
Laufzeit: 2023-2025
Dieses Projekt beschäftigt sich mit der Entwicklung effizienter adaptiver numerischer Methoden der
nächsten Generation zum Lösen von partiellen Differentialgleichungen unter Verwendung neuar-
tiger Quarklets, wobei garantierte exponentielle Konvergenz erzielt werden soll. Dabei arbeiten
wir mit biorthogonalen kompakt getragenen Cohen-Daubechies-Feauveau Spline Wavelets, welche
mit Polynomen angereichert werden. Diese Funktionen bezeichnen wir als Quarklets. Sie erlauben
uns die Entwicklung von Wavelet Versionen von adaptiven hp−Finite Elemente Methoden. Um
effektive Quarklet Verfahren mit exponentieller Konvergenz bereitstellen zu können, müssen wir
zunächst multivariate Quarklet Systeme mit hoher Glattheit konstruieren, welche sich zur Charak-
terisierung von Funktionenräumen wie Besov- oder Triebel-Lizorkin Räumen eignen. Diese mul-
tivariaten Quarklets können dann verwendet werden, um adaptive beinahe-optimale auf Quarklet
Bäumen beruhende Approximationsverfahren für gegebene multivariate Funktionen zu entwick-
eln. Für diese Verfahren sollen dann möglichst große Funktionenklassen, so genannte zugeordnete
Approximationsklassen, gefunden werden, für die exponentielle Konvergenz nachgewiesen werden
kann. In einem nächsten Schritt sollen nun effiziente adaptive auf Quarklets basierende Lösungsver-
fahren für partielle Differentialgleichungen der nächsten Generation entwickelt werden, welche mit
einer gedämpften Richardson Iteration arbeiten und adaptive beinahe-optimale auf Quarklet Bäu-
men beruhende Approximationstechniken verwenden. Für diese Lösungsverfahren sollen dann Sit-
uationen in Form von konkreten Bedingungen an die partielle Differentialgleichung, das zu Grunde
liegende Gebiet und die rechte Seite identifiziert werden, für die exponentielle Konvergenz nach-
weisbar ist. Für die Beweise kommen dabei Techniken aus der Regularitätstheorie zum Einsatz.
Parallel zur theoretischen Forschung sollen alle im Rahmen des Projektes entwickelten Verfahren
auch implementiert und in der Praxis getestet werden. - LOEWE-Center 'Natur 4.0: Sensing Biodiversity'
Teilprojekt UM3: Transformation, Regularisierung und Klassifikation
PI: Professor Dr. Stephan Dahlke
Laufzeit: 2019-2023
Team: Sven Heuer - Adaptive Quarklet-Frame-Verfahren hoher Ordnung für elliptische Operatorgleichungen
PI: Professor Dr. Stephan Dahlke, Professor Dr. Thorsten Raasch
DFG Projektnummer 451355735
Laufzeit: 2021-2023
Team Marburg: Dr. Marc Hovemann - Kernbasierte Multilevelverfahren für hochdimensionale Approximationsprobleme auf dünnen Gittern - Herleitung, Analyse und Anwendung in der Uncertainty Quantification
PIs: Professor Dr. Christian Rieger; Professor Dr. Holger Wendland
DFG Projektnummer 452806809
Laufzeit: 2021-2024
Team Marburg: Federico Lot
Ehemalige Drittmittelprojekte
- New Smoothness Spaces on Domains and their Discrete Characterizations
within the D-A-CH framework (DA 360/22-1) (2018 - 2021) - New Smoothness Spaces on Domains and their Discrete Characterizations
within the D-A-CH framework (DA 360/22-1) (2018 - 2021) - Regularity Theory of Stochastic Partial Differential Equations in (Quasi-)Banach Spaces
(2014 - 2015) - Optimal Adaptive Finite Element and Wavelet Methods for p-Poisson Equations
(2013 - 2016) - Adaptive Wavelet and Frame Techniques for Acoustic BEM
within the D-A-CH framework (2013 - 2016) - Adaptive Wavelet Methods for SPDEs, Part II
within DFG-SPP 1324 "Extraction of quantifiable information from complex systems" (2012 - 2015) - Coordination of SPP 1324 "Mathematical Methods for Extracting Quantifiable Information from Complex Systems", Phase II
(2011-2014) - Adaptive Wavelet Frame Methods for Operator Equations: Sparse Grids, Vector-Valued Spaces and Applications to Nonlinear Inverse Parabolic Problems, Part II
within DFG-SPP 1324 "Extraction of quantifiable information from complex systems" (2011 - 2013) - Sensitivitätsanalyse, Parameterbestimmung und Modellvalidierung für komplexe biologische Prozesse
(2010 - 2014) - Dynamik regulatorischer Netzwerke für Zellpolarität
(2010 - 2014) - Uncertainty Principles versus Localization Properties, Function Systems for Efficient Coding Schemes - UNLocX
(2010 - 2013) - Adaptive Wavelet Methods for SPDEs, Part I
within DFG-SPP 1324 "Extraction of quantifiable information from complex systems" (2009 - 2012) - Coordination of SPP 1324 "Mathematical Methods for Extracting Quantifiable Information from Complex Systems", Phase I
(2008-2011) - Adaptive Wavelet Frame Methods for Operator Equations: Sparse Grids, Vector-Valued Spaces and Applications to Nonlinear Inverse Parabolic Problems, Part I
within DFG-SPP 1324 "Extraction of quantifiable information from complex systems" (2008 - 2011) - Adaptive Wavelet Methods for Inverse Problems and Inverse Parabolic Equations
(2006 - 2009) - Multivariate Wavelet Analysis: Constructions, Specific Applications, and Data Structures, Part III
within DFG-SPP 1114 "Mathematische Methoden der Zeitreihenanalyse und digitalen Bildverarbeitung" (2005 - 2007) - Multivariate Wavelet Analysis: Constructions, Specific Applications, and Data Structures, Part II
within DFG-SPP 1114 "Mathematische Methoden der Zeitreihenanalyse und digitalen Bildverarbeitung" (2003 - 2005) - Multivariate Wavelet Analysis: Constructions, Specific Applications, and Data Structures, Part I
within DFG-SPP 1114 "Mathematische Methoden der Zeitreihenanalyse und digitalen Bildverarbeitung" (2001 - 2003)
Rhein-Main Arbeitskreis Mathematics of Computation
Wir möchten mit regelmäßigen Treffen des Arbeitskreises Kollegen der Hochschulen im Rhein-Main-Gebiet ansprechen, die Interesse am Themenkreis Mathematics of Computation haben. Im Mittelpunkt stehen Algorithmen und die Komplexität bei Problemen, die der kontinuierlichen Mathematik entstammen. Hierbei soll besonders die Zusammenarbeit von Mathematikerinnen und Mathematikern aus verschiedenen Bereichen der Angewandten Mathematik (Numerik, Stochastik, Optimierung) intensiviert werden.