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Eine algebraische Fläche vom Grad 6 (eine "Sextik"), die 65 Singularitäten besitzt.
 
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Promotionsprogramm "Lie-Theorie, Geometrie und Differentialgleichungen"


Vorstellung des Promotionsprogramms


Das Studium von Symmetrien und Gruppenwirkungen besitzt eine über 150 Jahre alte Geschichte und hat seinen Ursprung in der klassischen Invariantentheorie, welche sich aus Fragen der Mechanik, der Geometrie und der Zahlentheorie heraus entwickelte. Heute ist die Lie-Theorie, also die Theorie der Symmetrie-Gruppen und damit verwandter Fragestellungen, ein wohletabliertes Gebiet innerhalb der Mathematik. Parallel dazu hat sich seit dem ausgehenden 19. Jahrhundert die komplexe Geometrie entwickelt. Die hierbei entwickelten transzendenten, analytischen Methoden haben ihren Ursprung häufig in physikalischen Fragestellungen, wie der Yang-Mills-Theorie sowie der Konstruktion von Kähler-Einstein-Metriken auf komplexen Mannigfaltigkeiten.

Die eindrucksvolle Entwicklung der Stringtheorie und der mathematischen Quantenfeldtheorie hat in den letzten Jahren deutlich gemacht, dass die Lie-theoretisch begründeten Symmetrieprinzipien einerseits und Probleme der algebraischen Geometrie andererseits in engem Zusammenhang stehen und Anwendungen auf große Teile der Mathematik und mathematischen Physik, von der Zahlentheorie (Langlands-Programm) bis hin zu nicht-linearen Feldgleichungen (Einstein-Gleichung, Killing-Gleichung, Monge-Ampère-Gleichung) haben. In diesem zukunftsweisenden Forschungsgebiet spielen algebraische Konzepte wie Super-Symmetrie, Hopf-Algebren, unendlich-dimensionale Liealgebren vom Kac-Moody-Typ, sowie Dualitätsprinzipien eine zentrale Rolle.

Wissenschaftliches Ziel des Promotionsprogramms "Lie-Theorie, Geometrie und Differentialgleichungen" ist die Untersuchung der algebraischen, geometrischen und analytischen Eigenschaften von Räumen, wie sie in typischen Fragen der komplexen Geometrie und der Lie-Theorie auftauchen. Leitgedanke bei der Untersuchung ist die bestmögliche Ausnutzung der Symmetrie des gegebenen Raums bzw. der Objekte, die auf ihm wirken; die Lie-Theorie ist genau der Zweig der Mathematik, der sich auf systematische Weise den Symmetrie-Gruppen (Lie-Gruppen) und ihren zugeordneten Objekten widmet. Die geometrischen Räume – Mannigfaltigkeiten, algebraische Varietäten bzw. gewisse Bündel über ihnen – sind wiederum oft ursprünglich einer Fragestellung der komplexen Geometrie entnommen. Eine der wesentlichen Schwierigkeiten ist, dass viele der hierbei auftauchenden Probleme eine Kombination von Techniken aus verschiedenen Zweigen der Mathematik erfordern. Das strukturierte Promotionsprogramm wird den Doktoranden den notwendigen äußeren Rahmen bieten, um sich in diese Methoden schnell einzuarbeiten.

Zuletzt aktualisiert: 01.06.2016 · lochmana

 
 
 
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