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Ein wichtiges Teilgebiet der Chaosforschung behandelt die Frage nachdem quantenmechanischen Verhalten klassisch chaotischer Systeme, kurz "Quantenchaos" genannt. Häufig untersuchte Modellsysteme sind die Billards. Während z.B. in einem Kreis- oder Rechteckbillard dieTrajektorien über längere Zeiten mit hoher Genauigkeit vorhersagbar sind (Abb. 1), ändert sich das Bild, wenn man dem Billard z.B. die Form eines Stadions gibt (Abb. 2). Ein anderes chaotisches Billard ist das Sinai-Billard, ein Rechteck oder Quadrat mit ausgeschnittenem Kreis.

Abbildung 1: Kreisbillard bzw. Rechteckbillard mit Trajektorien.
Ein Klick auf die Bilder zeigt eine Animation der Bahnen zweier Teilchen im QuickTime-Format.


Abbildung 2: Stadionbillard bzw. Sinaibillard mit Trajektorien.
Ein Klick auf die Bilder zeigt eine Animation der Bahnen zweier Teilchen im QuickTime-Format.

Quantenmechanisch verlieren die Trajektorien ihren Sinn; stattdessen müssen Energieeigenwerte und Eigenfunktionen für ein Teilchen in einem Kasten mit unendlich hohen Wänden bestimmt werden. Da dies bei chaotischen Billards mit hohem Rechenaufwand verbunden ist, haben wir den experimentellen Zugang gewählt. Dabei wird die Tatsache ausgenutzt,dass zeitunabhängige Schrödingergleichung und zeitunabhängige Wellengleichung mathematisch äquivalent sind. Bildet man die Billards in Form von Hohlraumresonatoren nach, lassen sich Eigenfrequenzen und Eigenfunktionen mit Mikrowellenabsorption vermessen. Abbildung 3 zeig tden Aussschnitt eines auf diese Weise erhaltenen Spektrums.

Abbildung 3: Gemessenes Mikrowellen-Reflexions-Spektrum.

Die Abbildungen 4 und 5 zeigen typische Wellenfunktionen für verschiedene Billards.

Abbildung 4: Kreisbillard- bzw. Rechteckbillard-Eigenfunktion.

Abbildung 5: Stadionbillard- bzw. Sinaibillard-Eigenfunktion.

Während für Kreis- und Rechteckbillard die Wellenfunktionen durcheine regelmäßige Anordnung von Knotenlinien charakterisiert sind, lassen die Wellenfunktionen von Stadion- und Sinaibillard einen deutlichen Zusammenhang mit klassischen Bahnen erkennt. DieStadionwellenfunktion gehört z.B. in die Klasse der Flüstergalerie-Moden, bei der die elektromagnetischen Wellen an der Begrenzung entlangkriechen und das Innere gar nicht berühren. Allegezeigten Wellenfunktionen wurden von Studierenden im Rahmen eines Versuches des Fortgeschrittenenpraktikums vermessen.

Untersuchungsobjekt sind einmal die universellen Eigenschaften der Spektren chaotischer Systeme. Hier kommen Methodender Zufallsmatrixtheorie zum Einsatz. Als Beispiel sind in Abb. 6 dieAbstände benachbarter Resonanzen in als Histogramm aufgetragen. Die zugehörige Theorie-Kurve ist für alle chaotischen Systeme gleich!

Abbildung 6: Verteilung der Abstände benachbarter Resonanzen.

Zum anderen sucht man nach dem Einfluss individueller Eigenschaften. Es zeigt sich, dass es gerade die klassischen periodischen Bahnen sind, die im semiklassischen Übergangsgebiet zwischen Quantenmechanik und klassischer Mechanik auch die quantenmechanischen Eigenschaften bestimmen. In Abb. 7 ist dies am Beipiel eines Sinai-Billards dargestellt.

Literatur zum Themengebiet

• M.C. Gutzwiller, Chaos in Classical and Quantum Mechanics (Springer-Verlag, New York, 1990)
• F. Haake, Quantum Signatures of Chaos, Second Ed. (Springer-Verlag, Berlin, 2000)
• M.L. Mehta, Random Matrices, Second Ed. (Academic Press, San Diego, 1991)
• H.-J. Stöckmann, Quantum Chaos: An Introduction (Cambridge University Press, 1999)